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Commenti a "Siete ad un quiz televisivo. Vi chiedono di..." di Anonimo


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Istar,

Per il mattone.

Chiamiamo "Pm" il peso incognito di questo mattone.

Se un mattone pesa 1kg più mezzo mattone possiamo scrivere la semplice equazione di primo grado:

Pm = 1kg + 0,5*Pm

Portando l'incongita a primo menbro:

Pm - 0,5*Pm = 1kg

Raccogliendo:

(1-0,5)*Pm = 1kg

ovvero:

0,5*Pm = 1kg

Moltiplicando ambo i membri per 2:

Pm = 2kg

Che è la soluzione. Il mattone pesa 2kg, infatti:

2kg è proprio uguale a 1kg più la metà di 2kg.

Giusto? :-)
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Ma certo che è una probabilità condizionata.

E' la probabilità che esca una macchina da una delle due rimanenti porte "dato che" dalla prima porta è uscita una capra.

In formula:
P(x2=automobile | x2=capra)

Ma la probabilità associata a ciascuna porta passa dal 33% al 50% NEL MOMENTO STESSO IN CUI TROVO UNA CAPRA NELLA PRIMA PORTA, e non nel momento in cui io rispodno alla domanda "vuoi cambiare porta o mantenerla?"

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All'inizio:
3 porte e 2 capre
ergo:
capra 66%
auto 33%
su questo siamo tutti d'accordo, credo. Giusto?


SUPPONIAMO CHE IL CONCORRENTE NON SCEGLA ANCORA ALCUNA PORTA, MA ASPETTI CHE IL CONDUTTORE APRA LA PRIMA.

Il conduttore apre una porta (Chiamiamola porta A) e trova una capra. Cosa resta nel gioco?

2 porte
1 capra
1 auto

Probabilità? una capra su due porte e un'auto su due porte, è evidente! cioè:
capra 50%
auto 50%

Quindi, se solo a questo punto al concorrente viene chiesto di scegliere una porta quale gli conviene scegliere?
Una qualunque, è evidente. Le probabilità di trovare l'auto sono il 50% per ogni porta.

Ora, voi dite che SE INVECE NE AVEVA GIA' SCELTA UNA PRIMA (chiamiamola porta X) gli conviene cambiarla con la rimanente (chiamiamola porta Y).

Ma perché il fatto che lui abbia scelto X prima che venisse aperta A, dovrebbe aver aumentato la probabilità che la porta sia in Y?

E se invece di dirlo ad alta voce che aveva scelto X all'inizio, lo avesse scritto in una busta sigillata?
Quando sarebbe aumentata la probabilità in favore di Y?
Nel momento in cui lui ha scritto "X" sul foglio (ma nessuno lo ha letto), o nel momento in cui la busta è stata aperta e letto il foglio? O nel momento in cui lui ha pensato di scrivere x sul foglio?


Una azione che non coinvolge fisicamente né le porte, né le capre, né l'automobile, non può cambiare le probabilità che l'auto sia dietro una certa porta! :-)

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Se io APRO FISICAMENTE una porta e vi trovo una capra, restano in gioco solo DUE porte, quindi la probabilità di trovare l'auto passa da UNA SU TRE (di quando c'erano tre porte chiuse) a UNA SU DUE (perché rimane incognito solo il contenuto di DUE porte),

ma tale probabilità passa dal 33% al 50% PER ENTRAMBE LE PORTE CONTEMPORANEAMENTE!

E' più facile trovare l'auto, perché ci sono solo due possibilità invece di tre.

Il 33% non è più significativo perché si riferiva a una situazione in cui le porte dal contenuto incognito erano 3.
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Sul libro "Calcolo delle Probabilità" c'è proprio un esempio, simile al programma televisivo dei pacchi, dal quale si evince che conviene sempre cambiare pacco perchè la scelta fatta all'inizio ha una probabilità inferiore di essere corretta rispetto a quella in cui viene svelata una risposta sicuramente sbagliata.
In pratica secondo il libro è una probabilità condizionata.
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E' un po' come quelli che al lotto scommettono sui numeri che non escono da più tempo perché pensano che sia più probabile che escano essendo "in ritardo": bene qualsiasi libro di variabili aleatorie e/o calcolo delle probabilità liquida come ERRATA questa credenza e la chiama "ERRORE DEL GIOCATORE".
Se ti interessa posso cercarti anche dei libri universitari in italiano sull'errore del giocatore.
Posso scriverti i riferimenti bibliografici qui, e se mi dai una mail posso mandarti la scannerizzazione delle pagine interessate.
Ciao
Daniele
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Daniele, il tuo ragionamento è giusto, ma noi stiamo analizzando il caso specifico!

Non cambi l'esperimento, cambi solo qualche numero: ovviamente non è una cosa certa, si basa solo su qualche probabilità. Io la trovo chiarissima! Mi ricorda un po' l'indovinello del mattone che pesa 1 kg più mezzo mattone; per chiarire la faccenda ci è voluto mezzo mese!


Scusate per il ritardo, ma sono stato in vacanza e mi si è rotto il computer. Appena troverò il libro posterò la dimostrazione.

Ciao a tutti!

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