Commenti a Quaterna di Ramanujan di Srinivasa Ramanujan
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UN PROBLEMA PITAGORICO IMPOSSIBILE? “Detto TG il triangolo rettangolo di Gallo di lati x,y,z (x<y<z) associato alla pseudoequazione pitagorica di Gallo di grado n (EPPG/n) z^n –y^n=m con n, m interi positivi assegnati, determinare (senza tentativi) i lati di TG nel caso particolare n=10 ed m=1 063 976 199 “. La risoluzione si ottiene facilmente in base al cosiddetto I TEOREMA DI GALLO SULLA SOLUZIONE ATTRATTIVA del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina) che figura nella sezione “Problemi ed Equazioni”del suo Codex Cervinarensis. A cura di U. Esposito.
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ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE -SISTEMI DI 3 EQUAZIONI IN 3 INCOGNITE- FORMULE DI GALLO Riportiamo qui le Formule di Gallo relative ai sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite, scoperte nel 1994 dal matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) e che appaiono, per la prima volta nella Storia della Matematica, nel suo Codex Cervinarensis. Tali formule sono una conseguenza immediata del seguente Teorema del parametro fisso di Gallo : “ Se (S) ai x+bi y +ci z = di (i=1,2,3) è un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x,y,z ( con bi diverso da ci per ogni i=1,2,3), posto Ai=di –aix (i=1,2,3), allora le soluzioni delle tre equazioni lineari “zippate” di Gallo biyi +ciz= Ai (i=1,2,3) sono date dalle formule di Gallo y= ((Ai –ci) –ci ti)/(bi-ci) e z= ((bi-Ai) +biti)/(bi-ci) (i=1,2,3) e , qualunque sia i =1,2,3, risulta ti =t fisso= y+z-1” . Pertanto le FORMULE DI GALLO relative al sistema (S) di tre equazioni in tre incognite, che qui scriviamo in forma esplicita, che si ottengono a partire dalla prima equazione di (S) a1x +b1y+c1z=d1 ; a2x+b2y+c2z=d2 ; a3x+b3y+c3z=d3 , posto M= c1(b2-c2)-c2(b1-c1); P=M +d2(b1-c1)-d1(b2-c2); R=a2(b1-c1) – a1(b2-c2); N= c1(b3-c3)-c3(b1-c1); Q= N+d3(b1-c1)-d1(b3-c3); S=a3(b1-c1)-a1(b3-c3), con A1= d1-a1x e con t= y+z-1= (QR-PS)/(MS-RN); sono date dalle x= (P+Mt)/R = (Q+Nt)/S; y= ((A1-c1)-c1t)/(b1-c1); z=((b1-A1) +b1t)/(b1-c1). Le formule di Gallo consentono di evitare d’ora in poi, con grande gioia degli studiosi e degli studenti, di risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite con uno dei soliti metodi tradizionali (compreso il ben noto metodo che fa uso della Regola di Sarrus, che coinvolge il calcolo di due determinanti del terzo ordine). E’ chiaro che se x,y,z sono non lineari le formule stabilite sono ugualmente valide. Riportiamo due esempi numerici. ESEMPIO N1 Risolvere il sisetma (S1) 2x+5y-z=21; x+3y-2z=5; 3x+2y-2z=7. Risultando M=7; P= -68; R=-4; N=8; Q= -34: S=10 , otteniamo t=8 ed x=3 , per cui A1=15 e quindi y=4 e z=5. ESEMPIO N2 Risolvere il sistema(S2) 3x+5y-7z=-9; 2x-3y+4z=16; 5x-2y+z=15. Risultando M=1; P=-130; R=-45; N=9; Q=-162: S=69 , otteniamo t=5 ed x=3 , per cui A1=-18 e quindi y=2 e z=4. A cura di Umberto Esposito
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î” UN PROBLEMA RISOLTO DA RAMANUJAN: NUOVA RISOLUZIONE COL TEOREMA MIRBILIS DI GALLO. Il Problema di Strand
Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, con l’uso delle frazioni continue è rappresentato dall’equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che è un caso particolare dell’equazione generale di Gallo (SG) 2x^2 – y^2 + 4x- y = m^2 – m – 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nell’intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
L’ equazione (S) si risolve con l’uso del Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2×2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, cioè:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni dell’equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per x h = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dell’appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riuscì a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne dettò subito la soluzione all’amico sbalordito: l’aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
“ L’altro giorno, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo…Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa dell’amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate 1,2,3,..e così via.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri sull’altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana! Disse di sapere che c’erano più di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto”
Indicando con …51, 52,…,x, (x+1), (x+2),…,y,……….,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre l’uguaglianza:
(1+x)x/2= (x+2+ y)(yx+x)/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema è stato risolto, per la prima volta senza l’uso delle frazioni continue o delle equazioni di Fermat/Pell , ma unicamente per simmetria, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito
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Il Problema di Strand
Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, facendo uso delle frazioni continue,¨ rappresentato dalla equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che e un caso particolare della equazione generale di Gallo (SG) 2x^2- y^2 + 4x- y = m^2- m - 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nello intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
La (S) si risolve mediante uso il Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza far uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2x2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, ossia:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni della equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per xh = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dello appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riusce a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne detta subito la soluzione allo amico sbalordito: la aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
" Qualche giorno fa, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo. Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa del suo amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate numerate 1,2,3,..etc.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri dell'altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana, disse di sapere che vi erano piu di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto"
Indicando con 51, 52,¦,x, (x+1), (x+2),¦,y, ....,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre:
(1+x)x/2= (x+2+ y)(yx+y)/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema fu risolto, per la prima volta nel 1994 senza far uso delle frazioni continue o di equazioni di Pell, ma unicamente per simmetria, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito