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Commenti a Quaterna di Ramanujan di Srinivasa Ramanujan


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PROBLEMI ED EQUAZIONI DIOFANTEE DI GALLO
(Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di O. Gallo, per gentile concessione dell’Autore).   Le soluzioni dei problemi proposti (quando non risolti anche implicitamente) saranno rese note solo a partire dal 30 giugno 2016)                                                                                                                           A cura del Prof. Umberto Esposito (n.5.12.1936 ad Ischia)
PEG/1 METODO DI GALLO                                                                                Non è difficile – col metodo di Gallo- calcolare le prime  29 soluzioni  dell’equazione diofantea parametrica (D2) 6x+7y=k per 100<k<113.                   Ma non è facile dimostrare senza le formule di Gallo che la (D2), pur ammettendo infinite soluzioni intere e positive, per ciascun k>100 esiste solo un numero finito di soluzioni intere e positive della (D2).                                            La stessa (D2) si può risolvere anche con le formule di Gallo del I tipo relative alla equazione diofantea equivalente in tre incognite ( e dunque  non parametrica)   (D3) 6x+7y-k=0.
PEG/2 SISTEMI DIOFANTEI  DI GALLO                                                    Quante soluzioni intere positive ammette  il sistema di equazioni diofantee di Gallo  formato dalle due equazioni 7x^2-3y^2=1761  ed  x^5-3y^3=1 882 977 ?        E quali sono?                                                                                                             Nota La risoluzione per tentativi di tale sistema non è facile. Con l’ausilio del Teorema Mirabilis di Gallo è sufficiente risolvere solo una delle due equazioni del sistema
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EQUAZIONI DEL TIPO ax^(2n+1)+bx+1=0 - METODO DI GALLO
Per risolvere l’equazione (RM) 13x^17-7x+1=0, che non ammette alcuna soluzione intera, faremo uso  di un procedimento relativo alla risoluzione delle equazioni algebriche di Gallo del tipo       (EAG/n) ax^(2n+1)-bx +1=0  (con a,b interi non nulli ed n finito qualsiasi )che figura nel CODEX CERVINARENSISI del matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina)                                                                                                                  Per risolvere la (RM), caso particolare della (EAG/n) per a=13, b=7 ed 2n+1=17,  è possibile applicare ad essa il Teorema Mirabilis di Gallo in due modi diversi , ma equivalenti. I) Modo (diretto). Si costruiscono le seguenti due funzioni di simmetria di Gallo di grado 17 date dalle  F(hi)= -1 -2 (13 (hi) ^17-7hi) e G(hj)=-1 -2*0*(Σaj (hj)^pj)  con  i e j elementi di V=(1,2,…,17) e con aj coefficienti delle incognite hj ad esponenti pj interi positivi pari contenuti in V. Nel caso della (RM) risultando G(hj)=-1 (costante),  dalla condizione di simmetria di Gallo (GCS) F(hi)= -G(hj) segue che dev’essere F(hi)=+1(costante). Pertanto, affinchè il generico valore xi sia una soluzione della (RM), è sufficiente che sia  verificata la (GCS) per ogni xi=hi  con i variabile in V. II) Modo (indiretto). Alla (RM), posto X=x^17 ed Y=x, resta associata l’equazione pseudodiofantea di Gallo  (EDG/17) 13X -7Y=-1  la cui soluzione generale di Gallo , per la prima delle quattro formule di Gallo relative alle equazioni diofantee (D2) aX+ bY=c è  data dalle (FGG)  X= (-1 –(-7) –(-7)t)/(13-(-7))=(6+7t)/20 ed Y=(13-(-1) +13t)/20= (14+13t)/20 con t (parametro di Gallo)= X+Y-1. E’ sufficiente allora determinare 17 “particolari”valori t*i di t per ottenere le corrispondenti 17 soluzioni xi della (RM), il che si ottiene in base* ad un Teorema di Gallo sui valori t*i,  per ottenere i quali è sufficiente imporre la condizione di equivalenza di Gallo  (C)  X=Y^17, con X ed Y dati dalle (FGG). In tal modo si perviene alla risolvente di Gallo, di grado n=17,  data dalla (RG) (14+13t)^17= 7*(20^16)t+ 6*(20^16) , che è del tipo (RG’) a17t^17 +a16t^16+…….+a1t +a0= 0. I 17 valori di t forniti dalla (RG’) sono quei valori “particolari” t*i che sostituiti nelle (FGG) forniscono, in corrispondenza, le 17 soluzioni della (RM) (si veda la Nota).  Pertanto, per il Teorema Mirabilis di Gallo, affinchè t*i ( con i in V) sia soluzione della (RG’), e quindi anche della (RG), è sufficiente che siano verificate le 17 condizioni di simmetria di Gallo  (GCS)  Fd(t*i) = - Fp(t*i)  con Fd(t*i) = -T -2(Σr  (hi)^r)  e con Fp(t*i)= -T -2(Σs  (hi)^s)    con r dispari ed s pari  in V=(1,2,….,17).  Se non si vuol risolvere la (RG’), è possibile ottenere le soluzioni approssimate della (RM) ( ad esempio, limitandoci a valori ki <23), partendo dalla soluzione “generale” di Gallo xGi= 1/(7,00000…01) che contiene ki (intero >0) zeri decimali e che, indicato con f(x) il primo membro della (RM), per xG1= 1/7.01 fornisce un errore massimo Emax pari al valore E1= f(xi)= 1/ 10exp3, risultando Emin =lim f(xGi)  per ki tendente all’infinito.                                                    Utilizzando la soluzione generale xGi= 1/(7,00000…01) per k1=3; k2=4, k3=5, si ottengono, rispettivamente, le seguenti prime tre soluzioni approssimate di Gallo della (RM) xG1=1/ 7.0001 con con un grado di precisione minimo di 1/10exp6 essendo  f(xG1)= 0.000 001; xG2= 1/ 7.000 01 con f(xG2)= 000 000 1;  xG3= 1/7.000 001 con f(xG3)= 0.000 001 e così via fino alla diciassettesima soluzione approssimata di Gallo xG17= 1/7.000 000 000 000 000 000 001.                                                                                                                                           Nota. Ad esempio ciò è facilmente verificabile nel caso della (E2) x^2  -5x +6=0 , la cui associata pseudodiofantea di Gallo è  la (ED/2)   X-5Y = -6  (con X=x^2  ed Y=x) la cui soluzione generale di Gallo è (FGG/2) X= (-1+5t)/6  ; Y= (7 +t)/6  con t=X+Y-1. In questo caso la condizione X=Y^2  dà luogo alla risolvente di Gallo di secondo grado in t ( RG)  t^2-16t +55=0 che ha per soluzioni t*1=5 e t*2=11, mediante i quali dalle (FGG/2) si ottengono, in corrispondenza, da un lato  X=9 da cui x1=+3 (accettabile) ed x’1=-3 non accettabile) ed Y=x1=3; e, dall’altro lato, X=4 dacui x2=+2 (accettabile9 ed x’2= -2 (non accettabile) ed Y=x2=2. Per cui le soluzioni della (E2) sono x1=3 ed x2=2.                                                                                                                                                       A cura di U. Esposito
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RADICI ENNESIME DI UN NUMERO N INTERO POSITIVO (METODO DI GALLO)
Nelle EQUAZIONI k-DIOFANTEE DI GALLO (BASKHARA II E LE SOLUZIONI MINIME DI GALLO)segnalo il Teorema FPG di Gallo (1994),contenuto nel CODEX CERVINARENSIS di Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara in Valle Caudina) relativo alle equazioni k-diofanteedi Gallo del tipo Fermat-Pell Supergeneralizzate o  equazioni, che sono espresse da equazioni diofantee del tipo  (FPG/N)  β^ k -N α^ k = c   ( con c intero ed N intero positivo e non potenza k-ma) di grado k >2, delle quali si cercano le soluzioni minime  intere positive di Gallo (α , β), tali che si abbia:   β/ α   = k√N ; e, nel caso k=2,  se (x,y) è una soluzione dell’equazione di Fermat-Pell  (FP/N)  y^2-Nx^2 =1 tale che y/x= √N,   β/ α =  y/x= √N, anche se, in generale, risulta  (α , β)≠ (x,y). risulta
  β/ α =  y/x= √N, anche se, in generale, risulta  (α, β)≠ (x,y).In tal modo si calcolano le radici ennesime di N mediante le frazioni razionali di Gallo associate ad N. 
A cura di Umberto Esposito
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TEOREMA DI GALLO SULL’UNICITA’ DELLA SOLUZIONE DIOFANTEA49 POSITIVA
Il matematico italiano Onofrio Gallo, autore del ben noto Teorema Mirabilis  , ha stabilito il seguente fontamentale teorema relativo all'unicità della soluzione diofantea positiva relativo ad un’equazione diofantea di tipo (1):   
“Se (x,y) è una soluzione generale  di Gallo della (1) (1) aX +bY =c  con  X=x^n ed Y=y^m  è possibile determinarne la soluzione generale di Gallo(ad esempio tramite la formula di Gallo(FG.1)):
   X= (c-b -bt)/(a-b)
   Y=(a-c +at)/(a-b) 
con t (intero)= x+y-1.
Se l’ equazione  diofantea (1)  ammette la soluzione diofantea intera positiva minima (x,y) , calcolata mediante la soluzione generale di Gallo (FG.1),per t=t1, allora la soluzione intera positiva (x,y)  della (1)è  unica, se, e solo se, non è intera la ( x’,y’), soluzione successiva di Gallo  di (x,y), ottenuta dalla (1) mediante la (FG.1) per il valore t2=t1+ Δt  con Δ t =a-b)” .

Applichiamo il precedente Teorema di Gallo sull’unicità della  soluzione diofantea positiva all’equazione diofantea (ETB) y^3= x^2+2,  ETB sono le iniziali del noto matematico Eric Temple Bell . 
Mediante la formula  di Gallo (FG.1) della (ETB), scritta come (ETB’) x^2 –y^3=-2  si ottiene la soluzione generale di Gallo:
x^2 =(-1+t)/2
y^3= (3+t)/2  con t (intero) =x+y-1 , con Δt= a-b=denominatore di x^2 e di y^3 .
La positività delle soluzioni (x,y)>(0,0) implica che sia t > -3 e
  t > 1, per il che è sufficiente prendere t >1.
Dovendo essere t dispari ( in caso contrario x^2 non è intero), risulta che , per t1 =51,  otteniamo la prima soluzione intera positiva  (x^2, y^3)=(25,27) e quindi  (x,y)=(5,3).
Tale soluzione è anche unica, in quanto la <successiva> soluzione intera , se esiste, si deve trovare in corrispondenza di
t2=t1+Δ t= 51+2=53.
La soluzione successiva di Gallo(x2,y2)  di (x,y)=(5,3),  che si ottiene per t2=t1+Δt=53,  è  (x3,y3)=(26, 28).
Ma  26 non è un quadrato perfetto, né 28 è un cubo perfetto, ne segue che, non essendo intera la successiva di (5,3), per il Teorema di Gallo sull'unicità della soluzione diofantea positiva, l’ unica soluzione intera positiva della (ETB) è (x,y)=(5,3).
  ( Dal CODEX CERVINARENSIS  su autorizzazione dell’Autore, Onofrio Gallo , nato il 13.05.1946 a Cervinara (Valle Caudina).  
Umberto Esposito,
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THE GALLO’S PROBLEMS OF QUASI-CONGRUO The Italian mathematician Onofrio Gallo (b.1946 at Cervinara, Valle Caudina) in his CODEX CERVINARENSIS give two examples of the Gallo’s diophantine problems of quasi-congruo (GQCP) where is C+C’≠0 with k >2 so that C-C’ = minimum, with C,C positive integer numbers and (C,C’) >(0.0). The GQCP that he resolves (without attempts and without the continued fractions) are the Gallo’s diophantine problem of quasi-congruo of degree n=5.
y^5 - x^5= 316 396100(=C)                                                                           
y^5 - z^5= - 311 331 517 (= C≠ -C) 
and the Gallo’s diophantine problems of quasi-congruo of degree n=9
y^9- x^9= 5 1426745(=C)                                                                             
y^9 - z^9= - 5 444 719 021 (= C≠ -C).
The Gallo’s solutions of the two GQCP are the following. On the basis of the Gallo’s Mirabilis Theoremthe author solves ONLY the equation y^5-x^5= 316 396 100 (= C) The two following numerators of the Gallo’s general function of symmetry of degree n=5 are: N(h)= 316 396 100 -2h^5 and N’(k)=316 396 100 +2k^5 For h=51 N(51)= - 373 654 402 and for k=31 N’(31)= +373 654 402 Since N(h)= -N’(k), then he obtains the solution (y,x) =(51, 31). From the equation y^5 - z^5= - 311 331 517 , for y=51, it's z=58. The solution of the problem is (x,y,z)=( 31, 51, 58)
Alike way he solves the following Gallo’s diophantine problems of quasi-congruo for n=9: with C= 5 119 426 745 and C'= - 5 444 719 021 ( C≠ -C) On the basis of his Mirabilis Theorem, O. Gallo solves ONLY the equation y^9 - x^9=5 119 426 745 (= C). In thi case he finds the following numerators of the Gallo’s general function of symmetry of degree n=9: N(h)= 5 119 426 745 -2^h9 and N’(k)= 5 119 426 745 +2k^9 . For h=12 N(12)=( 5 119 426 745 -2*129)= - 5 200 133 959 and for k=7 N’(7)= + 5 200 133 959. Since N(h)= -N’(k), then we obtain the solution (y,x) =(12, 7). From the equation y^9 - z^9= - 5 444 719 021 , for y=12, it's z=13. The solution of the problem is (x,y,z)=( 7, 12, 13) By U. Esposito

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