Commenti a Quaterna di Ramanujan di Srinivasa Ramanujan

L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT vale  UN MILIONE DI EURO!

Più di quanto previsto per il solutore di uno dei sette Problemi del Millennio del Premio Clay!
E’ la somma che incasseranno complessivamente i risolutori ( o il risolutore) di un testo cifrato in  Codice Riemann, composto da trenta righe alfanumeriche.
Dietro il testo cifrato sembra celarsi l’identità di un personaggio X del quale non si sa nulla.
Autore di un romanzo inedito di prossima pubblicazione in cui probabilmente figura tale personaggio, T.E. Queen avrebbe scoperto uno speciale codice usato dai nazisti di gran lunga più complesso e sofisticato rispetto al celebre codice Enigma, da lui denominato “The Riemann’s Code� , ma non si sa per quale ragione? (E’ stato forse dimostrata la Congettura di Riemann? E da chi? ). Secondo Queen, che ha dichiarato �in quanto io stesso non saprei da dove cominciare�, tale decifrazione da parte di qualcuno potrebbe richiedere anni o secoli..
In particolare non è nota la lingua nella quale il testo è stato cifrato (potrebbe essere l’aramaico, il cinese o qualsiasi altra lingua o più lingue associate).
Né si sa se alla base  della cifratura vi siano uno o più algoritmi e/o sistemi operativi relativi a metalinguaggi disposti su vari livelli di codifica o se il testo criptato sia stato randomizzato in 30 righe.
La sfida di Queen, molto probabilmente supportata da qualche gruppo finanziario, è rivolta anche ai maggiori esperti di Crittografia a livello mondiale, in quanto è ben noto che la sicurezza di molti sistemi ( informatici, politici, militari, finanziari, ecc) è legata a certe famiglie di codici segreti che potrebbero essere ben presto messi in ombra dallo stesso Codice Riemann.
Il regolamento del Premio Queen prevede la pubblicazione delle trenta righe a caso nell’arco dei prossimi 30 anni, a partire dal 1.01.2010, quando sarà resa nota la PRIMA RIGA , scelta a caso tra le trenta che costituiscono il messaggio criptato.
All’eventuale solutore della prima riga andranno i primi € 33 333,00.
All’inizio del 2011 verrà resa nota la SECONDA RIGA, scelta sempre a caso tra le 29 rimaste..
Se, entro il 01.01.2011, la PRIMA RIGA nel frattempo non è stata decrittata, nell’anno 2011 il solutore è obbligato a decrittare le prime DUE RIGHE (quella dell’anno 2010 e  quella dell’anno 2011): in caso di soluzione esatta  il vincitore incasserà il doppio ( € 66 666,00); in caso contrario il secondo solutore incasserà anch’egli la somma corrispondente alla decrittazione della singola riga decrittata (€ 33 333,00). E così di seguito per i restanti 28 anni successivi, con un meccanismo a jackpot nel caso nessuna delle righe pubblicate in precedenza sia stata decifrata.
Per cui, nell’ipotesi che l’eventuale solutore nel corso del trentesimo anno si trovasse a decrittare tutte le trenta righe e vi riuscisse, tale solutore incasserebbe la  bella somma di  € 999 999,00 ( in pratica un milione di euro)!
Se al la fine del trentennio non vi sarà stato nessun solutore dell’enigma queeniano , non è dato sapere se la soluzione dell’enigma verrà svelata o se il Premio Queen riprenderà a partire dal 1.01.2041 con le stesse modalità precedenti o con un ulteriore potenziamento in termini economici.
Sono in gioco enormi interessi finanziari che potrebbero persino portare ad un accantonamento dei metodi di crittazione del tipo RSA ed affini, inclusi quelli più avanzati, fondati sulle funzioni ellittiche.
Alla luce delle applicazioni delle funzioni ellittiche c’è stato qualcuno che ha formulato l’ipotesi, secondo cui le ricerche matematiche di J.Wiles, condotte in gran segreto per sette anni e fondate sulle curve ellittiche, solo apparentemente erano connesse con il tentativo, fallito, di ottenere una dimostrazione per via diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat (UTF), in quanto non è da escludere, invece, che tali ricerche fossero orientate alla creazione di nuove famiglie di codici segreti per i servizi segreti anglo-americani.
Sino ad oggi l’unica dimostrazione per via diretta dell’UTF è quella originalissima ottenuta dal matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina)che ha condotto al  ben noto Teorema Mirabilis di Gallo,  relativo alle equazioni diofantee del tipo (G) axr+bys=czt , che perciò contiene e dimostra l’UTF, in quanto l’equazione di Fermat (per n>2)  (F)  xn + yn  =zn   è un caso particolare   della (G) per  r=s=t ed a=b=c=1.
La dimostrazione di O.Gallo  fu ottenuta il 19 luglio 1991, ma resa pubblica a Roma il 27.12.1993.
In seguito (27.10.1994) tale dimostrazione fu depositata anche presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Gottingen, diretto dal Prof. Frank Neumann) e dall’anno 2004 concorre al prestigioso Premio Abel, insieme ad altri vari teoremi e risultati di originali ottenuti in Teoria dei Numeri da O. Gallo.  
. Il Teorema Mirabilis di Gallo ha preceduto di circa dieci mesi la dimostrazione indiretta dell’UTF ottenuta da Wiles e Taylor, resa nota il 24 ottobre 1994, pubblicata  nel maggio 1995 e  convalidata solo nel 1998 dall’Unione Matematica Internazionale!
Com’è noto, la dimostrazione dell’UTF da parte di Wiles e Taylor è di tipo indiretta, in quanto conseguenza della loro dimostrazione diretta di una variante della Congettura di Taniyama-Shimura(1955), relativa ad un particolare tipo di curve ellittiche, le cosiddette  curve ellittiche semistabili.
Una dimostrazione indiretta dell’UTF, quella congiunta di Wiles e Taylor, ottenuta inconsapevolmente da Wiles sulla base del Secondo Principio Generale della Conoscenza di Gallo (Caso*Caso=Certezza o Falso*Falso=Vero, con * algoritmo particolare).
Fu infatti la combinazione (casuale) di due teorie , quella di Iwasawa (primo errore)  e quella di Kolyvagin-Flach (secondo errore) che, prese singolarmente,  non funzionavano per dimostrare un certo passaggio intermedio della dimostrazione della Congettura di Taniyama-Shimura, ma che, prese insieme, funzionavano, eliminando in tal modo l’errore commesso in precedenza da Wiles.
Tuttavia sulla dimostrazione indiretta  dell’UTF da parte di Wiles e Taylor sussistono ancor oggi seri dubbi a livello logico; dubbi sostenuti con forza da vari matematici e cultori di matematica, oltre che dalla ben nota Marilyn Vos Savant nel suo libro The World’s Most Famous Math Problem.
Del Premio Queen ci occuperemo nei prossimi mesi sul WEB nel nostro  Queen News.
Notizie a  cura del Prof. Umberto Esposito.

TEOREMA MIRABILIS DI GALLO E SCOMPOSIZIONI DI FERMAT
Proposizione di Fermat:
“ Il numero primo p=4n+1 è tale che p2k+1 e p2k+2 sono ciascuno somma di 2k+2 quadrati in k+1 modi�.
Ci riferiremo al numero primo  p=5.
Applicando il Teorema Mirabilis di Gallo si ha quanto segue:
Per k=0  p1=5=z =22+12
               p2= 25=32+42
Per k=1  p3= 53=z=22+112=52+102
               P4= 54=z=202+152=242+72
In quanto  N(2)=117 ed N(11)=-117 ; N(5)=75 ed N(10)=-75; mentre
                 N(20)=-175 ed N(15)=+175 ; N(24)=-527 ed N(7)=+527
Per k=2   p5= 55=z=502+252=412+382= 552+102
                P6= 56=z=1002+752=1202+352= 442+1172
In quanto   N(100)=-4375 ed N(75)=- 4375;  N(120)=-131 175 ed N(35)=+ 131 175;
N(44)=11753 ed N(117)=-11753
Per k=3   p7= 57=z=502+2752=2502+1252= 1902+2052= 2782+ 292
               P8= 58=z=6002+1752=5002+3752= 2202+5852= 3362+ 5272 

Commento:
Si potrebbe continuare per valori di k>3,  o per valori di p =4n+1 >5, ma per brevità ci fermiamo qui.
(Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di O. Gallo, per gentile concessione dell’Autore).
A cura di Umberto Esposito

PROBLEMA DEI BUOI DI ARCHIMEDE E SOLUZIONI MINIME DI GALLO

Il problema di Analisi Indeterminata o Analisi Diofantea più famoso dell’antichità ? E’ il cosiddetto Problema dei buoi di Archimedela cui risolvente è sempre stata identificata con un’equazione  diofantea , detta di Fermat-Pell, (FP/N) y2-Nx2 =1 di grado k=2 (grado minimo) con N intero positivo non quadrato perfetto.
Di tale problema Onofrio Gallo ha trovato ben 20 risolventi diverse di Fermat-Pell <Generalizzate> (il cui termine noto non necessariamente deve risultare unitario) le cui soluzioni minime generali intere positive di Gallo, che nel seguito saranno indicate con ( î‚· , β) 
, risultando tutte inferiori alla soluzione classica particolare, a maggior ragione risultano inferiori (di un fattore dell’ordine di almeno 10 103258 ) rispetto alla soluzione classica generale del problema (che è dell’ordine di 10 103275), trovata nel 1880 dal matematico tedesco A.Amthor e della quale, stante le difficoltà del problema archimedeo, quasi non si trovano tracce nei testi più recenti su Archimede e le sue <opere>, tranne  nel caso dell’opera monumentale History of the Theory of Numbers (Chelsea Publ., Co., New York, N.Y., 1971)- di L.E. Dickson e in qualche altro raro caso.  
Infatti, per Problema dei buoi di  Archimede, al quale resta associata  l’equazione diofantea del tipo (FP/4729494), Onofrio Gallo fornisce , tra le possibili soluzioni intere positive  da lui trovate, oltre alla soluzione minima intera positiva particolare:
( î‚· , β) = ( 570 054 , 1 239 719 227),  anche  ( î‚· , β)  = (1 137 227, 2 473 173 028), entrambe tali che  β/î‚·   = 2174,739984 = √ 4729494 con sei decimali esatti,
la seguente soluzione generale minima intera positiva di Gallo dell’ordine di 10 17, data dai seguenti otto valori minimi di Gallo  calcolati mediante il Teorema FPG di Gallo:
x= 207 329 640 u =  5. 842 176 605 x10 17 
y= 149 210 280 u =  4.204 477 503 x 10 17
z= 147 161 200  u =  4.146 738 111 x 10 17
h=  82 987 740 u =  2. 338 445 353 x10 17
x’= 144 127 200 u = 4. 061 245 445 x 1017
y’=  97 864 920 u = 2. 757 657 545 x1017
z’ = 70 316 400 u = 1. 981 389 767 x1017
h’= 108 784 260 u = 3. 065 344 92 x 1017
le quali soddisfano il <secondo grado> del Problema dei buoi (condizioni imposte da Archimede)
A1)  x + y = î�‚ = a2  (quadrato perfetto) = 1. 004 665 411 x10 18 =( 1 002 329 991)2 
A2)  z + h = Δ = s(s+1)/2 (numero triangolare) =6. 485 183 464 x10 17, con
s = 1 138 875 187 (intero positivo, al pari di a = 1 002 329 991).
I valori a ed s sono detti numeri archimedei minimi di Gallo.
(Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di O. Gallo, per gentile concessione dell’Autore).
A cura di Umberto Esposito

QUATERNE di EULERO e QUATERNE di GALLO                        
“Determinare  le soluzioni intere positive (a,b,c,d) di 
an + bn = cn + dn �
Le quaterne (a,b,c,d) sono dette<quaterne di Eulero se n=4> e <quaterne di Gallo>se n>8.
Se S = an + bn = cn + dn   allora ,per il TEOREMA MIRABILIS DI GALLO, il numeratore della funzione generale di simmetria  di quarto grado di Gallo che risolve il detto problema , per n=4, è 
(GGFS/4) N(ij)= S- 2(xj)4,
per cui , al variare di S, è sufficiente che sia verificata la condizione di simmetria di Gallo
(GCS)  N(ih)=-N(ik).
Per S= 635 318 657 si ottiene la soluzione di Eulero (a, b, c, d)=( 59,158, 133, 134), risultando:
N(i59)= +611 083 935 ed N(i158)= -611 083 935; N(i133)= + 9517 215 ed N(i134)= -9517 215.
Per n= 3 262 811 042 otteniamo la soluzione di Brondi (a, b, c, d)= ( 7, 239, 157, 227); infatti risulta:
N(i7)= + 3 262 806 240 ed N(i239)= -3 262 806 240 ; N(i157)= + 2 047 604 640 ed
N(i227)= -2 047 604 640.
Si noti che, se (a, b ,c,d) è una soluzione del problema, anche le infinite quaterne (qa, qb, qc, qd) con q intero >1 sono tali.
E’ chiaro che disponendo di un software che include sia la (GGFS/4) che la (GCS), al variare di S, è possibile ottenere infinite soluzioni del tipo (a, b, c, d).
Tale ricerca può essere generalizzata facendo variare S, per ciascun n prefissato.
A livello classico le rappresentazioni di un numero n come somma di 4,5,6,7,8 quadrati furono approfondite da Eisenstein e completate da Smith.     
(Condensato dal  CODEX CERVINARENSIS di O:Gallo, SU LICENZA DELL'AUTORE)  
A Cura di U. Esposito

Il CODEX CERVINARENSIS
Il CODEX CERVINARENSIS è l’Opera Omnia di Onofrio Gallo (n. 13 maggio 1946 a Cervinara (AV), Valle Caudina ), autore dell’ormai celebre TEOREMA MIRABILIS, definito dal suo Autore come Teorema Fondamenatle dell’Analisi Diofantea e dell’Algebra.
Il TEOREMA MIRABILIS DI GALLO unifica ( in quanto li compendia  e li dimostra) e supera ( in quanto consente applicazioni rapide e risultati in precedenza o <impossibili> o non ottenibili se non faticosamente ) in una sola volta il TEOREMA di PITAGORA, il TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA, IL TEOREMA FONDAMENTALE DI GALOIS ( TEORIA DEI GRUPPI RISOLUBILI), l’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT.
Basta leggere le numerosissime applicazioni del TEOREMA MIRABILIS DI GALLO per rendersi conto della sua originalità e della sua vastissima portata non solo nel campo dell’Analisi Diofantea, ma anche nel campo della Teoria delle Equazioni algebriche.
Delle numerose dimostrazioni date da K.F. GAUSS del teorema fondamentale dell’Algebra  (argomento della sua tesi di laurea ad Heidelberg), la più semplice, la più concisa e le più elegante in assoluto è quella di Onofrio Gallo, ottenuta con il suo TEOREMA MIRABILIS, vale a dire unicamente <per simmetria>.
A Cura di U. Esposito